00 = 1 zéro
puissance zéro = 1
On trouve parfois dans la littérature que 00 n'est pas défini
Or ce nombre est très bien défini comme valant 1.
Explication succincte ci-dessous
Explication détaillée
en PDF
1. La définition ensembliste rigoureuse de 00
donne bien 00 =1
On se place ici dans l'ensemble des entiers naturels et on utilise
la théorie des ensembles.
Les opérations d'addition, de multiplication et d'exponentiation
(puissance) se définissent alors de manière simple et naturelle
à partir de la notion de cardinal d'un ensemble et des opérations
élémentaires de la théorie des ensembles. L'addition
se définit au moyen de la réunion de deux ensembles disjoints,
la multiplication au moyen du produit cartésien, et l'exponentiation
au moyen de l'ensemble des applications d'un ensemble vers un autre.
- xy est le cardinal de l'ensemble des applications
d'un ensemble de y éléments vers un ensemble de x éléments;
- 00 est le cardinal de l'ensemble des applications
de l'ensemble vide vers lui-même;
- l'application dont le graphe est l'ensemble vide est l'unique
application de l'ensemble vide vers lui-même;
- l'ensemble des applications de l'ensemble vide vers
lui-même contient donc cette unique application, et est
de cardinal 1.
- De même, ce graphe vide caractérise n'importe quelle application de l'ensemble vide vers n'importe quel autre ensemble. On a donc bien encore n0=0 quel que soit n.
- Par contre, il n'y a aucune application d'un ensemble non vide vers l'ensemble vide (un élément de l'ensemble de départ ne pouvant pas avoir d'image. On a donc bien n0=0 quel que soit n strictement positif.
Cet argument peut s'illustrer de manière plus intuitive avec
la théorie des mots. (Voir l'explication détaillée
proposée en téléchargement)
2. Argument "algébrique"
Si l'on note un polynôme P(X) de degré n comme somme
pour i=0 à n de ai*Xi
on obtient P(0) = a0 (le terme constant)
à condition encore une fois de poser 00
=1 : P(0) = a0·00
= a0
Cela justifie de poser que x0 vaut 1
pour tout x réel... ou dans n'importe quel corps
![Illustration du graphe de [z= x^y]](Zero%5EZero.png)
On peut ainsi définir xy pour
x>=0 et y réel quelconque,
avec valeur infinie possible, de la manière suivante
(voir ci-contre le graphique de la fonction z = xy)
- 0y = 0 pour y > 0
- 0y = 1 pour y = 0
- 0y = infini pour y < 0
- et naturellement xy = exp(y*log(x)) pour x>0
et y réel
xy est aussi défini pour tout x
réel et y entier relatif
La limite de xy n'est naturellement pas définie pour x,y
tendant simultanément vers 0
Elle vaut 0 pour y>0 et x tendant vers 0
Elle vaut infini pour y<0 et x tendant vers 0
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